O teorema binomial é uma equação que nos diz como desenvolver uma expressão da forma (a + b)n para algum número natural n. Um binômio nada mais é do que a soma de dois elementos, como (a + b). Também nos permite saber para um termo dado por umkbn-k qual é o coeficiente que o acompanha.
Este teorema é comumente atribuído ao inventor, físico e matemático inglês Sir Isaac Newton; No entanto, foram encontrados vários registros que indicam que sua existência já era conhecida no Oriente Médio, por volta do ano 1000.
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O teorema binomial nos diz matematicamente o seguinte:
Nesta expressão, aeb são números reais en é um número natural.
Antes de fazer a demonstração, vamos dar uma olhada em alguns conceitos básicos que são necessários.
O número combinatório ou combinações de n em k são expressos da seguinte forma:
Esta forma expressa o valor de quantos subconjuntos com k elementos podem ser escolhidos de um conjunto de n elementos. Sua expressão algébrica é dada por:
Vejamos um exemplo: suponha que temos um grupo de sete bolas, das quais duas são vermelhas e as demais são azuis..
Queremos saber de quantas maneiras podemos organizá-los em uma fileira. Uma forma poderia ser colocar as duas vermelhas na primeira e segunda posições, e o resto das bolas nas posições restantes..
Semelhante ao caso anterior, poderíamos dar às bolas vermelhas a primeira e a última posição, respectivamente, e ocupar as outras com bolas azuis.
Agora, uma maneira eficiente de contar quantas maneiras podemos organizar as bolas em uma linha é usando números combinatórios. Podemos ver cada posição como um elemento do seguinte conjunto:
Então, resta escolher um subconjunto de dois elementos, em que cada um desses elementos representa a posição que as bolas vermelhas irão ocupar. Podemos fazer essa escolha de acordo com a relação dada por:
Desta forma, temos que existem 21 maneiras de ordenar essas bolas.
A ideia geral deste exemplo será muito útil para provar o teorema binomial. Vejamos um caso particular: se n = 4, temos (a + b)4, que nada mais é do que:
Ao desenvolver este produto, ficamos com a soma dos termos obtidos pela multiplicação de um elemento de cada um dos quatro fatores (a + b). Assim, teremos termos que serão da forma:
Se quiséssemos obter o termo do formulário a4, basta multiplicar da seguinte forma:
Observe que só existe uma maneira de obter esse elemento; mas, o que acontece se procurarmos agora o termo da forma adoisbdois? Como “a” e “b” são números reais e, portanto, a lei comutativa é válida, temos que uma forma de obter este termo é multiplicar pelos membros indicados pelas setas.
Realizar todas essas operações é geralmente um tanto tedioso, mas se virmos o termo "a" como uma combinação em que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher dois "a" de um conjunto de quatro fatores, podemos usar a ideia do exemplo anterior. Portanto, temos o seguinte:
Assim, sabemos que na expansão final da expressão (a + b)4 teremos exatamente 6adoisbdois. Usando a mesma ideia para os outros elementos, você deve:
Em seguida, adicionamos as expressões obtidas anteriormente e temos isso:
É uma prova formal para o caso geral em que "n" é qualquer número natural.
Observe que os termos que permanecem durante o desenvolvimento (a + b)n Eles são da forma dekbn-k, onde k = 0,1,…, n. Usando a ideia do exemplo anterior, temos a maneira de escolher as variáveis "k" "a" dos fatores "n":
Ao escolher desta forma, estamos escolhendo automaticamente n-k variáveis "b". Disto se segue que:
Considerando (a + b)5, Qual seria o seu desenvolvimento?
Pelo teorema binomial, temos:
O teorema binomial é muito útil se temos uma expressão na qual queremos saber qual é o coeficiente de um termo específico sem ter que fazer a expansão completa. Como exemplo, podemos tomar a seguinte incógnita: qual é o coeficiente de x7Y9 na expansão de (x + y)16?
Pelo teorema binomial, temos que o coeficiente é:
Outro exemplo seria: qual é o coeficiente de x5Y8 no desenvolvimento de (3x-7y)13?
Primeiro, reescrevemos a expressão de uma maneira conveniente; isto é:
Então, usando o teorema binomial, temos que o coeficiente buscado é quando temos k = 5
Outro exemplo dos usos deste teorema está na prova de algumas identidades comuns, como as que mencionaremos a seguir..
Se "n" é um número natural, temos:
Para a prova usamos o teorema binomial, onde "a" e "b" tomam o valor de 1. Então temos:
Desta forma, provamos a primeira identidade.
Se "n" é um número natural, então
Pelo teorema binomial, temos:
Podemos fazer uma prova diferente para o teorema binomial usando o método indutivo e a identidade de Pascal, que nos diz que, se “n” e “k” são inteiros positivos que satisfazem n ≥ k, então:
Primeiro, vamos ver se a base indutiva se mantém. Se n = 1, temos:
Na verdade, vemos que isso é cumprido. Agora, seja n = j tal que:
Queremos ver que para n = j + 1 é verdade que:
Portanto, temos que:
Por hipótese, sabemos que:
Então, usando a propriedade distributiva:
Posteriormente, desenvolvendo cada uma das somas, temos:
Agora, se agruparmos de uma forma conveniente, temos que:
Usando a identidade de pascal, temos:
Finalmente, observe que:
Portanto, vemos que o teorema binomial é válido para todos os "n" pertencentes aos números naturais, e com isso a prova termina.
O número combinatório (nk) também é chamado de coeficiente binomial porque é precisamente o coeficiente que aparece no desenvolvimento do binomial (a + b)n.
Isaac Newton deu uma generalização deste teorema para o caso em que o expoente é um número real; este teorema é conhecido como teorema binomial de Newton.
Já nos tempos antigos, esse resultado era conhecido para o caso particular em que n = 2. Este caso é mencionado no Elementos por Euclides.
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