As transformações isométricas São mudanças na posição ou orientação de uma determinada figura que não alteram sua forma ou tamanho. Essas transformações são classificadas em três tipos: translação, rotação e reflexão (isometria). Em geral, as transformações geométricas permitem que você crie uma nova figura a partir de um determinado.
Uma transformação em figura geométrica significa que, de alguma forma, ela sofreu alguma mudança; ou seja, foi alterado. De acordo com o sentido do original e do similar no plano, as transformações geométricas podem ser classificadas em três tipos: isométricas, isomórficas e anamórficas..
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As transformações isométricas ocorrem quando as magnitudes dos segmentos e os ângulos entre a figura original e a figura transformada são preservados.
Nesse tipo de transformação, nem a forma nem o tamanho da figura se alteram (são congruentes), é apenas uma mudança de posição, seja na orientação, seja na direção. Desta forma, as figuras inicial e final serão semelhantes e geometricamente congruentes..
Isometria refere-se à igualdade; ou seja, as figuras geométricas serão isométricas se tiverem a mesma forma e tamanho.
Nas transformações isométricas, a única coisa que se observa é uma mudança de posição no plano, ocorre um movimento rígido graças ao qual a figura vai de uma posição inicial a uma final. Esta figura é chamada homóloga (semelhante) do original.
Existem três tipos de movimentos que classificam uma transformação isométrica: translação, rotação e reflexão ou simetria.
São aquelas isometrias que permitem que todos os pontos do plano sejam deslocados em linha reta em uma determinada direção e distância..
Quando uma figura é transformada por translação, ela não muda sua orientação em relação à posição inicial, nem perde suas medidas internas, as medidas de seus ângulos e lados. Este tipo de deslocamento é definido por três parâmetros:
- Uma direção, que pode ser horizontal, vertical ou oblíqua.
- Um sentido, que pode ser para a esquerda, direita, para cima ou para baixo.
- Distância ou magnitude, que é o comprimento da posição inicial até o final de qualquer ponto que se move.
Para que uma transformação isométrica por translação seja cumprida, as seguintes condições devem ser atendidas:
- A figura deve sempre manter todas as suas dimensões, tanto lineares quanto angulares.
- A figura não muda de posição em relação ao eixo horizontal; isto é, seu ângulo nunca varia.
- As traduções serão sempre resumidas em uma única, independente da quantidade de traduções que forem feitas..
Em um plano onde o centro é um ponto O, com coordenadas (0,0), a translação é definida por um vetor T (a, b), que indica o deslocamento do ponto inicial. Quer dizer:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Por exemplo, se uma translação T (-4, 7) é aplicada ao ponto de coordenada P (8, -2), obtemos:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)
Na imagem a seguir (à esquerda) pode-se ver como o ponto C se moveu para coincidir com D. Ele o fez na direção vertical, a direção era para cima e a distância ou magnitude CD era de 8 metros. Na imagem da direita a translação de um triângulo é observada:
São aquelas isometrias que permitem que a figura gire todos os pontos de um plano. Cada ponto gira seguindo um arco que tem um ângulo constante e um ponto fixo (centro de rotação) determinado.
Ou seja, toda rotação será definida por seu centro de rotação e ângulo de rotação. Quando uma figura é transformada por rotação, ela mantém a medida de seus ângulos e lados.
A rotação ocorre em um determinado sentido, é positiva quando a rotação é no sentido anti-horário (anti-horário) e negativa quando a rotação é no sentido horário..
Se um ponto (x, y) é girado em relação à origem - ou seja, seu centro de rotação é (0,0) -, por um ângulo de 90ou para 360ou as coordenadas dos pontos serão:
No caso em que a rotação não tem um centro na origem, a origem do sistema de coordenadas deve ser transferida para a nova origem dada, a fim de poder girar a figura tendo a origem como centro..
Por exemplo, se o ponto P (-5,2) é girado 90ou, em torno da origem e em uma direção positiva suas novas coordenadas serão (-2,5).
São aquelas transformações que invertem os pontos e as figuras do avião. Esta inversão pode ser em relação a um ponto ou também pode ser em relação a uma linha.
Em outras palavras, neste tipo de transformação, cada ponto da figura original é associado a outro ponto (imagem) da figura homóloga, de forma que o ponto e sua imagem fiquem à mesma distância de uma linha chamada eixo de simetria..
Assim, a parte esquerda da figura será um reflexo da parte direita, sem alterar sua forma ou dimensões. A simetria transforma uma figura em outra igual, mas na direção oposta, como pode ser visto na imagem a seguir:
A simetria está presente em muitos aspectos, como em algumas plantas (girassóis), animais (pavão) e fenômenos naturais (flocos de neve). O ser humano reflete isso em seu rosto, o que é considerado um fator de beleza. A reflexão ou simetria podem ser de dois tipos:
É aquela transformação que ocorre em relação a um ponto, no qual a figura pode mudar sua orientação. Cada ponto da figura original e sua imagem estão à mesma distância de um ponto O, denominado centro de simetria. A simetria é fundamental quando:
- Tanto o ponto quanto sua imagem e centro pertencem à mesma linha.
- Com uma rotação de 180ou do centro O, um número igual ao original é obtido.
- Os traços da figura inicial são paralelos aos traços da figura formada.
- O sentido da figura não muda, será sempre no sentido horário.
Esta transformação ocorre em relação ao eixo de simetria, onde cada ponto da figura inicial está associado a outro ponto da imagem e estes estão à mesma distância do eixo de simetria. A simetria é axial quando:
- O segmento que une um ponto com sua imagem é perpendicular ao seu eixo de simetria.
- As figuras mudam de direção em relação à rotação ou sentido horário.
- Ao dividir a figura com uma linha central (eixo de simetria), uma das metades resultantes coincide completamente com a outra das metades.
Uma composição de transformações isométricas refere-se à aplicação sucessiva de transformações isométricas na mesma figura.
A composição de duas traduções resulta em outra tradução. Quando executado no plano, no eixo horizontal (x) apenas as coordenadas daquele eixo mudam, enquanto as coordenadas do eixo vertical (y) permanecem as mesmas, e vice-versa.
A composição de duas voltas com o mesmo centro resulta em outra volta, que tem o mesmo centro e cuja amplitude será a soma das amplitudes das duas voltas..
Se o centro das curvas tiver um centro diferente, o corte da bissetriz de dois segmentos de pontos semelhantes será o centro da curva.
Nesse caso, a composição vai depender de como é aplicada:
- Se a mesma simetria for aplicada duas vezes, o resultado será uma identidade.
- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos paralelos, o resultado será uma translação, e seu deslocamento será o dobro da distância desses eixos:
- Se duas simetrias forem aplicadas em relação a dois eixos que se cruzam no ponto O (centro), uma rotação com o centro em O será obtida e seu ângulo será o dobro do ângulo formado pelos eixos:
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