O Probabilidade Condicional É a possibilidade de ocorrência de um determinado evento, desde que outro ocorra como condição. Essas informações adicionais podem (ou não) modificar a percepção de que algo vai acontecer.
Por exemplo, podemos nos perguntar: "Qual é a probabilidade de que vai chover hoje, visto que não chove há dois dias?" O evento para o qual queremos saber a probabilidade é que chova hoje, e a informação adicional que condicionaria a resposta é que "não chove há dois dias".
Seja um espaço probabilístico composto por Ω (espaço amostral), ℬ (os eventos aleatórios) e P (a probabilidade de cada evento), mais os eventos A e B que pertencem a ℬ.
A probabilidade condicional de que A ocorra, dado que B ocorreu, que é denotada como P (A│B), é definida da seguinte forma:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B)
Onde: P (A) é a probabilidade de ocorrência de A, P (B) é a probabilidade do evento B e é diferente de 0, e P (A∩B) é a probabilidade da interseção entre A e B, ou seja ,, a probabilidade de que ambos os eventos ocorram (probabilidade conjunta).
Esta é uma expressão para o teorema de Bayes aplicado a dois eventos, proposto em 1763 pelo teólogo e matemático inglês Thomas Bayes..
Índice do artigo
-Cada probabilidade condicional está entre 0 e 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-A probabilidade de que o evento A ocorra, dado que o evento ocorre, é obviamente 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Se dois eventos são exclusivos, ou seja, eventos que não podem acontecer simultaneamente, a probabilidade condicional de que um deles aconteça é 0, já que a interseção é nula:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Se B é um subconjunto de A, a probabilidade condicional também é 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Importante
P (A│B) geralmente não é igual a P (B│A), portanto, devemos ter cuidado para não trocar os eventos ao encontrar a probabilidade condicional.
Muitas vezes você deseja encontrar a probabilidade conjunta P (A∩B), em vez da probabilidade condicional. Então, por meio do seguinte teorema, temos:
P (A∩B) = P (A e B) = P (A│B). P (B)
O teorema pode ser estendido para três eventos A, B e C:
P (A∩B∩C) = P (A e B e C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
E também para vários eventos, como A1, PARAdois, PARA3 e mais, pode ser expresso da seguinte forma:
P (A1∩ Adois ∩ A3… ∩ An) = P (A1) P (Adois│A1) P (A3│A1∩ Adois) ... P (An││A1∩ Adois∩ ... An-1)
Quando se trata de eventos que ocorrem em sequência e por diferentes etapas, é conveniente organizar os dados em diagrama ou tabela. Isso facilita a visualização das opções para atingir a probabilidade solicitada..
Exemplos disso são diagrama de árvore e a tabela de contingência. De um deles você pode construir o outro.
Vejamos algumas situações em que as probabilidades de um evento são alteradas pela ocorrência de outro:
Dois tipos de bolos são vendidos em uma loja de doces: morango e chocolate. Ao registrar as preferências de 50 clientes de ambos os sexos, foram determinados os seguintes valores:
-27 mulheres, das quais 11 preferem bolo de morango e 16 bolo de chocolate.
-23 homens: 15 escolhem chocolate e 8 morango.
A probabilidade de um cliente escolher um bolo de chocolate pode ser determinada pela aplicação da regra de Laplace, de acordo com a qual a probabilidade de qualquer evento é:
P = número de eventos favoráveis / número total de eventos
Nesse caso, de 50 clientes, um total de 31 prefere chocolate, então a probabilidade seria P = 31/50 = 0,62. Ou seja, 62% dos clientes preferem bolo de chocolate.
Mas seria diferente se a cliente fosse mulher? Este é um caso de probabilidade condicional.
Usando uma tabela de contingência como esta, os totais são facilmente exibidos:
Em seguida, os casos favoráveis são observados e a regra de Laplace é aplicada, mas primeiro definimos os eventos:
-B é o evento "cliente feminino".
-A é o evento "prefiro bolo de chocolate" sendo mulher.
Vamos para a coluna chamada "mulheres" e lá vemos que o total é 27.
Em seguida, o caso favorável é procurado na linha "chocolate". Existem 16 desses eventos, portanto a probabilidade buscada é, diretamente:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% das clientes mulheres preferem bolo de chocolate.
Este valor coincide quando o contrastamos com a definição inicialmente dada de probabilidade condicional:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Certificamo-nos de usar a regra de Laplace e os valores da tabela:
P (B) = 27/50
P (A e B) = 16/50
Onde P (A e B) é a probabilidade de o cliente preferir chocolate e ser mulher. Agora os valores são substituídos:
P (A│B) = P (A e B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.
E fica comprovado que o resultado é o mesmo.
Neste exemplo, a regra de multiplicação se aplica. Suponha que haja calças em três tamanhos em exposição em uma loja: pequena, média e grande..
Num lote com um total de 24 calças, das quais são 8 de cada tamanho e todas são misturadas, qual seria a probabilidade de extrair duas delas e de ambas serem pequenas?
É claro que a probabilidade de retirar uma calça pequena na primeira tentativa é 8/24 = 1/3. Agora, a segunda extração está condicionada ao primeiro evento, pois ao retirar uma calça, não são mais 24, mas 23. E se for tirada uma calça pequena, são 7 em vez de 8.
O evento A está puxando uma calça pequena, tendo puxado outra na primeira tentativa. E o evento B é aquele com as calças pequenas pela primeira vez. Portanto:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Finalmente, usando a regra de multiplicação:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
Em um estudo de pontualidade em voos comerciais, os seguintes dados estão disponíveis:
-P (B) = 0,83, é a probabilidade de que um avião decole no tempo.
-P (A) = 0,81, é a probabilidade de pousar na hora.
-P (B∩A) = 0,78 é a probabilidade de que o vôo chegue no horário e decole no horário.
É pedido para calcular:
a) Qual é a probabilidade de o avião pousar no horário, visto que decolou no horário?
b) A probabilidade anterior é igual à probabilidade de ele ter saído na hora se conseguisse pousar na hora??
c) E por último: qual a probabilidade de que chegue a tempo dado que não saiu na hora certa?
Para responder à pergunta, a definição de probabilidade condicional é usada:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A e B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
Neste caso, os eventos na definição são trocados:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A e B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630
Observe que esta probabilidade é ligeiramente diferente da anterior, como apontamos anteriormente.
A probabilidade de não sair a tempo é 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vamos chamá-lo de P (B)C), porque é o evento complementar para a decolagem no horário. A probabilidade condicional procurada é:
P (A│BC) = P (A∩BC) / P (BC) = P (A e BC) / P (BC)
Por outro lado:
P (A∩BC) = P (pouso no horário) - P (pouso no horário e decolagem no horário) = 0,81-0,78 = 0,03
Neste caso, a probabilidade condicional procurada é:
P (A│BC) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
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