O triângulos São figuras geométricas planas e fechadas, constituídas por três lados. Um triângulo é determinado por três linhas que se cruzam duas a duas, formando três ângulos entre si. A forma triangular, carregada de simbolismo, está presente em inúmeros objetos e como elemento de construção.
A origem do triângulo se perdeu na história. A partir de evidências arqueológicas, sabe-se que a humanidade primitiva o conhecia bem, pois vestígios arqueológicos confirmam que era usado em ferramentas e armas..
Também é claro que os antigos egípcios tinham um conhecimento sólido de geometria e, em particular, da forma triangular. Eles se refletiram nos elementos arquitetônicos de seus edifícios monumentais.
No papiro Rhind estão fórmulas para o cálculo de áreas de triângulos e trapézios, bem como alguns volumes e outros conceitos de trigonometria rudimentar.
Por sua vez, sabe-se que os babilônios conseguiam calcular a área do triângulo e outras figuras geométricas, que usavam para fins práticos, como divisões de terras. Eles também conheciam muitas propriedades dos triângulos.
No entanto, foram os gregos antigos que sistematizaram muitos dos conceitos geométricos prevalecentes hoje, embora muito desse conhecimento não fosse exclusivo, uma vez que certamente era compartilhado com essas outras civilizações antigas..
Índice do artigo
Os elementos de qualquer triângulo são indicados na figura a seguir. Existem três: vértices, lados e ângulos.
-Vértices: são os pontos de intersecção das linhas cujos segmentos determinam o triângulo. Na figura acima, por exemplo, a linha LAC contendo o segmento AC, cruza a linha LAB contendo segmento AB apenas no ponto A.
-Lados: entre cada par de vértices, um segmento de linha é desenhado que constitui um lado do triângulo. Este segmento pode ser denotado pelas letras finais ou usando uma letra específica para chamá-lo. No exemplo da figura 2, o lado AB também é chamado de "c".
-Ângulos: Entre cada lado com um vértice comum se origina um ângulo, cujo vértice coincide com o do triângulo. Geralmente o ângulo é denotado por uma letra grega, como foi dito no início.
Para construir um triângulo específico, com uma determinada forma e tamanho, basta ter um dos seguintes conjuntos de dados:
-Todos os três lados, bastante óbvios para um triângulo.
-Dois lados e o ângulo entre eles, e imediatamente o lado restante é desenhado.
-Dois ângulos (internos) e o lado entre eles. Por extensão, os dois lados ausentes são desenhados e o triângulo está pronto.
Geralmente, na notação de triângulo, as seguintes convenções são usadas: os vértices são indicados com letras latinas maiúsculas, lados com letras latinas minúsculas e ângulos com letras gregas (ver figura 2).
Desta forma, o triângulo é nomeado de acordo com seus vértices. Por exemplo, o triângulo à esquerda na figura 2 é o triângulo ABC, e o triângulo à direita é o triângulo A'B'C '.
Também é possível usar outras notações; por exemplo, o ângulo α na Figura 2 é denotado como BAC. Observe que a letra do vértice fica no meio e as letras são escritas no sentido anti-horário.
Outras vezes, um acento circunflexo é colocado para denotar o ângulo:
α = ∠A
Existem vários critérios para classificar triângulos. O mais usual é classificá-los de acordo com a medida de seus lados ou de acordo com a medida de seus ângulos. Dependendo da medida de seus lados, os triângulos podem ser: escalenos, isósceles ou equiláteros:
-Escaleno: seus três lados são diferentes.
-Isósceles: tem dois lados iguais e um lado diferente.
-Equilátero: todos os três lados são iguais.
De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos são nomeados assim:
-Ângulo obtuso, se um dos ângulos internos for maior que 90º.
-Ângulo agudo, quando os três ângulos internos do triângulo são agudos, ou seja, menos de 90º
-Retângulo, caso um de seus ângulos internos seja 90º. Os lados que formam 90º são chamados de pernas e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa..
Quando dois triângulos têm a mesma forma e são do mesmo tamanho, eles são considerados congruentes. Claro que a congruência está relacionada à igualdade, então por que falamos em geometria de "dois triângulos congruentes" em vez de "dois triângulos iguais"?
Bem, é preferível usar o termo "congruência" para se ater à verdade, uma vez que dois triângulos podem ter a mesma forma e tamanho, mas estar orientados de forma diferente no plano (ver figura 3). Do ponto de vista da geometria, eles não seriam mais estritamente os mesmos.
Dois triângulos são congruentes se algum dos seguintes ocorrer:
-Todos os três lados medem o mesmo (novamente, este é o mais óbvio).
-Eles têm dois lados idênticos e com o mesmo ângulo entre eles.
-Ambos têm dois ângulos internos idênticos e o lado entre esses ângulos mede o mesmo.
Como se pode ver, trata-se dos dois triângulos reunindo as condições necessárias para que, quando construídos, sua forma e tamanho sejam exatamente os mesmos..
Os critérios de congruência são muito úteis, pois na prática inúmeras peças e peças mecânicas devem ser fabricadas em série, de forma que suas medidas e formas sejam exatamente as mesmas..
Um triângulo é semelhante a outro se tiverem a mesma forma, mesmo que sejam de tamanhos diferentes. Para ter certeza de que a forma é a mesma, é necessário que os ângulos internos tenham o mesmo valor e que os lados sejam proporcionais..
Os triângulos na figura 2 também são semelhantes, assim como os da figura 6. Desta forma:
∠ A = ∠ A ', ∠ B = ∠ B 'e ∠ C = ∠ C '
Em relação aos lados, as seguintes razões de similaridade se mantêm:
a / a '= b / b' = c / c '
As propriedades fundamentais dos triângulos são as seguintes:
-A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.
-Para qualquer triângulo, a soma de seus ângulos externos é igual a 360 °.
- Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes ao referido ângulo.
Eles são atribuídos ao filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que desenvolveu vários teoremas relacionados à geometria. O primeiro deles estabelece o seguinte:
Se várias linhas paralelas cruzam duas linhas transversais, segmentos que são proporcionais são determinados nelas.
Em outras palavras:
a / a '= b / b' = c / c '
O primeiro teorema de Tales é aplicável a um triângulo, por exemplo, temos o triângulo azul ABC à esquerda, que é cortado pelos paralelos vermelhos à direita:
O triângulo violeta AB'C 'é semelhante ao triângulo azul ABC, portanto, de acordo com o teorema de Tales, o seguinte pode ser escrito:
AB '/ AC' = AB / AC
E é consistente com o que foi explicado anteriormente no segmento da semelhança dos triângulos. A propósito, as linhas paralelas também podem ser verticais ou paralelas à hipotenusa e triângulos semelhantes são obtidos da mesma forma.
Este teorema também se refere a um triângulo e um círculo com centro O, como os mostrados abaixo. Nesta figura, AC é o diâmetro da circunferência e B é um ponto dela, B sendo diferente de A e B.
O segundo teorema de Tales afirma que:
O ângulo entre os segmentos AB e BC é sempre 90º, portanto o triângulo ABC está correto.
Este é um dos teoremas mais famosos da história. É devido ao matemático grego Pitágoras de Samos (569 - 475 aC) e é aplicável a um triângulo retângulo. Diz assim:
A soma dos quadrados dos comprimentos das pernas do triângulo retângulo é igual ao comprimento da hipotenusa ao quadrado.
Se tomarmos como exemplo o triângulo azul na figura 8, ou o triângulo violeta, uma vez que ambos são retângulos, então pode-se afirmar que:
ACdois = ABdois + ACdois (triângulo azul)
AC 'dois = AB 'dois + BC 'dois (triângulo roxo)
A área do triângulo é dada pelo produto de sua base para e sua altura h, dividido por 2. E por trigonometria, esta altura pode ser escrita como h = b sinθ.
Diz-se que por meio de seu primeiro teorema, Tales conseguiu medir a altura da Grande Pirâmide do Egito, uma das 7 maravilhas do mundo antigo, medindo a sombra que ela projetava no solo e aquela projetada por uma estaca cravado no solo..
Este é o esboço do procedimento seguido por Contos:
Tales presumiu corretamente que os raios do sol batem em paralelo. Com isso em mente, ele imaginou o grande triângulo retângulo à direita.
Lá D é a altura da pirâmide e C é a distância acima do solo medida do centro à sombra projetada pela pirâmide no solo do deserto. Pode ser trabalhoso medir C, mas certamente é mais fácil do que medir a altura da pirâmide.
À esquerda está o pequeno triângulo, com pernas A e B, onde A é a altura da estaca cravada verticalmente no solo e B é a sombra que ela projeta. Ambos os comprimentos são mensuráveis, assim como C (C é igual ao comprimento da sombra + metade do comprimento da pirâmide).
Então, por semelhança de triângulos:
A / B = D / C
E a altura da Grande Pirâmide acaba sendo: D = C. (A / B)
Treliças na construção civil são estruturas feitas de barras retas retas e entrecruzadas de madeira ou metal, que são utilizadas como suporte em muitos edifícios. Eles também são conhecidos como treliças, treliças ou treliças (treliça em inglês).
Neles os triângulos estão sempre presentes, já que as barras estão interligadas em pontos chamados nós, que podem ser fixos ou articulados..
O método conhecido como triangulação permite obter a localização de pontos inacessíveis conhecendo outras distâncias mais fáceis de medir, desde que seja formado um triângulo que inclua a localização desejada entre seus vértices..
Por exemplo, na figura a seguir, queremos saber onde o navio está no mar, denotado como B.
Primeiramente, mede-se a distância entre dois pontos da costa, que na figura são A e C. Em seguida, os ângulos α e β devem ser determinados, com o auxílio de um teodolito, um dispositivo usado para medir ângulos verticais e horizontais.
Com todas essas informações, um triângulo é construído em cujo vértice superior é a nave. Restaria calcular o ângulo γ, usando as propriedades dos triângulos e as distâncias AB e CB usando a trigonometria, para determinar a posição do navio no mar..
Na figura mostrada, os raios do sol são paralelos. Desta forma, a árvore de 5 metros de altura projeta uma sombra de 6 metros no solo. Ao mesmo tempo, a sombra do prédio é de 40 metros. Seguindo o primeiro teorema de Tales, encontre a altura do edifício.
O triângulo vermelho tem lados de 5 e 6 metros respectivamente, enquanto o azul tem altura H - a altura do prédio - e base de 40 metros. Ambos os triângulos são semelhantes, portanto:
H / 40 = 5/6 → H = 40. (5/6) m = 33,3 m
Você precisa saber a distância horizontal entre dois pontos PARA Y B, mas eles estão localizados em um terreno muito irregular.
Sobre o ponto médio (Pm) deste terreno destaca-se um destaque de 1,75 metros de altura. Se a fita métrica indica 26 metros de comprimento medido de A à proeminência e 27 metros de B ao mesmo ponto, encontre a distância AB.
O teorema de Pitágoras é aplicado a um dos dois triângulos retângulos da figura. Começando com o da esquerda:
Hipotenusa = c = 26 metros
Altura = a = 1,75 metros
APm = (26dois - 1,75dois)1/2 = 25,94 m
Agora aplique Pitágoras no triângulo à direita, desta vez c = 27 metros, a = 1,75 metros. Com estes valores:
BPm= (27dois - 1,75dois)1/2 = 26,94 m
A distância AB é encontrada adicionando estes resultados:
AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.
Ainda sem comentários