UMA permutação sem repetição de n elementos são os diferentes grupos de diferentes elementos que podem ser obtidos a partir da não repetição de nenhum elemento, apenas variando a ordem de colocação dos elementos.
Para descobrir o número de permutações sem repetição, a seguinte fórmula é usada:
Pn = n!
Qual expandido seria Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1).
Portanto, no exemplo prático anterior, seria aplicado da seguinte forma:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferentes de 4 dígitos.
Sendo estes os 24 arrays no total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Como se pode verificar, não há repetição em nenhum caso, sendo 24 números diferentes.
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Vamos analisar mais especificamente o exemplo dos 24 arranjos de 4 dígitos diferentes que podem ser formados com os dígitos do número 2468. O número de arranjos (24) pode ser conhecido como segue:
Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, restando 3 opções para selecionar o segundo. Dois dígitos já foram definidos e 2 opções permanecem para selecionar o terceiro dígito. O último dígito tem apenas uma opção de seleção.
Portanto, o número de permutações, denotado por P4, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 números diferentes de 4 dígitos
Em geral, o número de permutações ou arranjos distintos que podem ser realizados com todos os n elementos de um determinado conjunto é:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1)
A expressão n! é conhecido como fatorial n e significa o produto de todos os números naturais que se encontram entre o número n e o número um, incluindo ambos.
Agora suponha que você queira saber o número de permutações ou números de dois dígitos que podem ser formados com os dígitos do número 2468.
Seriam 12 arranjos no total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Você tem 4 opções para selecionar o primeiro dígito, sobrando 3 dígitos para selecionar o segundo. Portanto, o número de permutações dos 4 dígitos tomados dois a dois, denotados por 4P2, é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:
4P2 = 4 * 3 = 12 números diferentes de 2 dígitos
Em geral, o número de permutações ou arranjos distintos que podem ser realizados com r elementos de n no total em um determinado conjunto é:
nPr = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)]
A expressão acima é truncada antes de reproduzir n!. Para completar n! a partir dele devemos escrever:
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1)
Os fatores que adicionamos, por sua vez, representam um fatorial:
(n - r) ... (2) (1) = (n - r)!
Portanto,
n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)!
Daqui
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] = nPr
Quantas combinações diferentes de 5 letras podem ser construídas com as letras da palavra KEY??
Queremos encontrar o número de combinações diferentes de 5 letras que podem ser construídas com as 5 letras da palavra KEY; ou seja, o número de matrizes de 5 letras envolvendo todas as letras disponíveis na palavra KEY.
Número de palavras de 5 letras = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinações diferentes de 5 letras.
Seriam: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... até 120 combinações de letras diferentes no total.
Você tem 15 bolas numeradas e deseja saber quantos grupos diferentes de 3 bolas podem ser construídos com as 15 bolas numeradas?
Você quer encontrar o número de grupos de 3 bolas que podem ser feitas com as 15 bolas numeradas.
N ° de grupos de 3 bolas = 15P3 = 15! / (15 - 3)!
N ° de grupos de 3 bolas = 15 * 14 * 13 = 2730 grupos de 3 bolas
Uma frutaria possui um stand de exposição constituído por uma fila de compartimentos localizados no hall de entrada das instalações. Em um dia, o verdureiro adquire para venda: laranjas, bananas, abacaxis, peras e maçãs.
a) De quantas maneiras diferentes você tem para solicitar o estande de exposição?
b) De quantas maneiras diferentes você tem que fazer o pedido do estande se, além das frutas citadas (5), você recebeu naquele dia: manga, pêssego, morango e uva (4)?
a) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar todas as frutas na linha de exibição; ou seja, o número de arranjos de 5 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.
Nº de arranjos de estande = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos de estande = 120 maneiras de apresentar o estande
b) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar todas as frutas na linha de exibição se 4 itens adicionais forem adicionados; ou seja, o número de arranjos de 9 itens de frutas que envolvem todas as frutas disponíveis para venda naquele dia.
Nº de arranjos de estande = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos de estande = 362.880 maneiras de apresentar o estande
Um pequeno posto de alimentação possui um terreno com espaço suficiente para estacionar 6 veículos.
a) Quantas maneiras diferentes de ordenar os veículos no lote podem ser selecionadas?
b) Suponha que um lote de terreno contíguo seja adquirido cujas dimensões permitem o estacionamento de 10 veículos, quantas maneiras diferentes de ordenar os veículos podem ser selecionadas agora?
a) Queremos encontrar o número de diferentes formas de ordenar no terreno os 6 veículos que podem ser alojados.
N ° de arranjos dos 6 veículos = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos dos 6 veículos = 720 formas diferentes de ordenar os 6 veículos no lote de terreno.
b) Queremos encontrar o número de diferentes formas de ordenar no terreno os 10 veículos que podem ser alojados após a ampliação do terreno.
N ° de arranjos dos 10 veículos = P10 = 10!
Nº de arranjos de veículos = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos dos 10 veículos = 3.628.800 formas diferentes de ordenar os 10 veículos no lote.
Uma florista tem flores de 6 cores diferentes para fazer bandeiras florais de nações que têm apenas 3 cores. Se é sabido que a ordem das cores é importante nas bandeiras,
a) Quantas bandeiras diferentes de 3 cores podem ser feitas com as 6 cores disponíveis?
b) O vendedor compra flores de 2 cores adicionais às 6 que já tinha, agora quantas bandeiras diferentes de 3 cores podem ser feitas?
c) Como você tem 8 cores, você decide expandir sua oferta de bandeiras, quantas bandeiras diferentes de 4 cores você pode fazer?
d) Quantas de 2 cores?
a) Queremos encontrar o número de bandeiras diferentes de 3 cores que podem ser feitas selecionando entre as 6 cores disponíveis.
N ° de sinalizadores de 3 cores = 6P3 = 6! / (6 - 3)!
Nº de sinalizadores de 3 cores = 6 * 5 * 4 = 120 sinalizadores
b) Você deseja encontrar o número de bandeiras diferentes de 3 cores que podem ser feitas selecionando a partir das 8 cores disponíveis.
N ° de sinalizadores de 3 cores = 8P3 = 8! / (8 - 3)!
N ° de sinalizadores de 3 cores = 8 * 7 * 6 = 336 sinalizadores
c) O número de bandeiras de 4 cores diferentes que podem ser feitas selecionando a partir das 8 cores disponíveis deve ser calculado.
N ° de sinalizadores de 4 cores = 8P4 = 8! / (8 - 4)!
Nº de sinalizadores de 4 cores = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 sinalizadores
d) Você deseja determinar o número de bandeiras diferentes de 2 cores que podem ser feitas, selecionando a partir das 8 cores disponíveis.
Nº de sinalizadores de 2 cores = 8P2 = 8! / (8 - 2)!
Nº de sinalizadores de 2 cores = 8 * 7 = 56 sinalizadores
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