O geometria analítica estuda linhas geométricas e figuras aplicando técnicas básicas de álgebra e análise matemática em um determinado sistema de coordenadas.
Consequentemente, a geometria analítica é um ramo da matemática que analisa detalhadamente todos os dados das figuras geométricas, ou seja, o volume, os ângulos, a área, os pontos de intersecção, suas distâncias, entre outros..
A característica fundamental da geometria analítica é que ela permite a representação de figuras geométricas por meio de fórmulas..
Por exemplo, as circunferências são representadas por equações polinomiais de segundo grau, enquanto as linhas são expressas por equações polinomiais de primeiro grau.
A geometria analítica surge no século XVII devido à necessidade de dar respostas a problemas que até agora não tinham solução. Teve como principais representantes René Descartes e Pierre de Fermat.
Hoje, muitos autores apontam para ela como uma criação revolucionária na história da matemática, uma vez que representa o início da matemática moderna..
Índice do artigo
O termo geometria analítica surgiu na França no século XVII devido à necessidade de dar respostas a problemas que não podiam ser resolvidos usando álgebra e geometria isoladamente, mas a solução estava no uso combinado de ambas..
Durante o século XVII, dois franceses por acaso na vida realizaram pesquisas que de uma forma ou de outra culminaram na criação da geometria analítica. Essas pessoas foram Pierre de Fermat e René Descartes.
Atualmente, considera-se que o criador da geometria analítica foi René Descartes. Isso se deve ao fato de ter publicado seu livro antes de Fermat e também em profundidade com Descartes que trata do tema da geometria analítica..
No entanto, tanto Fermat quanto Descartes descobriram que as linhas e figuras geométricas podem ser expressas por equações e as equações podem ser expressas como linhas ou figuras geométricas..
Pelas descobertas dos dois, pode-se dizer que ambos são os criadores da geometria analítica..
Pierre de Fermat foi um matemático francês que nasceu em 1601 e morreu em 1665. Durante sua vida estudou a geometria de Euclides, Apolônio e Pappus, a fim de resolver os problemas de medição que existiam na época..
Mais tarde, esses estudos desencadearam a criação da geometria. Acabaram sendo expressos em seu livro "Introdução a lugares planos e sólidos”(Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), que foi publicado 14 anos após sua morte em 1679.
Pierre de Fermat em 1623 aplicou geometria analítica aos teoremas de Apolônio sobre lugares geométricos. Ele também foi o primeiro a aplicar a geometria analítica ao espaço tridimensional..
Também conhecido como Cartésio, ele foi um matemático, físico e filósofo que nasceu em 31 de março de 1596 na França e morreu em 1650..
René Descartes publicou em 1637 seu livro “Discurso sobre o método de conduzir a razão corretamente e buscar a verdade na ciência"Mais conhecido como"O método”E a partir daí o termo geometria analítica foi apresentado ao mundo. Um de seus apêndices era "A Geometria".
A geometria analítica é composta pelos seguintes elementos:
Este sistema tem o nome de René Descartes.
Não foi ele quem nomeou, nem quem completou o sistema de coordenadas cartesianas, mas foi ele quem falou de coordenadas com números positivos que permitem que futuros estudiosos o completem..
Este sistema é composto pelo sistema de coordenadas retangulares e o sistema de coordenadas polares.
Os sistemas de coordenadas retangulares são chamados de plano formado pelo contorno de duas retas numeradas perpendiculares entre si, onde o ponto de corte coincide com o zero comum.
Então esse sistema seria composto de uma linha horizontal e uma vertical..
A linha horizontal é o eixo X ou o eixo de abcissas. A linha vertical seria o eixo Y ou o eixo das ordenadas.
Este sistema se encarrega de verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma linha fixa e a um ponto fixo da linha.
Esta equação é obtida a partir de uma reta quando dois pontos são conhecidos pelos quais ela passa.
É aquele que não se desvia e, portanto, não tem curvas nem ângulos.
São as curvas definidas pelas linhas que passam por um ponto fixo e pelos pontos de uma curva.
A elipse, circunferência, parábola e hipérbole são curvas cônicas. Cada um deles é descrito abaixo.
A circunferência é chamada de curva plana fechada que é formada por todos os pontos do plano que são equidistantes de um ponto interno, ou seja, do centro da circunferência.
É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz). Então, a diretriz e o foco são o que definem a parábola.
A parábola pode ser obtida como uma seção de uma superfície cônica de revolução através de um plano paralelo a uma geratriz..
Uma elipse é a curva fechada que descreve um ponto ao se mover em um plano de tal forma que a soma de suas distâncias a dois (2) pontos fixos (chamados de focos) é constante.
A curva definida como o lugar geométrico dos pontos no plano é chamada de hipérbole, para a qual a diferença entre as distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante..
A hipérbole tem um eixo de simetria que passa pelos focos, denominado eixo focal. Possui também outra que é a bissetriz do segmento que possui os pontos fixos em suas extremidades..
Existem várias aplicações da geometria analítica em diferentes áreas da vida diária. Por exemplo, podemos encontrar a parábola, um dos elementos fundamentais da geometria analítica, em muitas das ferramentas que são usadas diariamente hoje. Algumas dessas ferramentas são as seguintes:
As antenas parabólicas possuem um refletor gerado a partir de uma parábola que gira no eixo da referida antena. A superfície que é gerada como resultado desta ação é chamada de parabolóide.
Essa capacidade do parabolóide é chamada de propriedade ótica ou propriedade de reflexão de uma parábola, e graças a ela é possível que o parabolóide reflita as ondas eletromagnéticas que recebe do mecanismo de alimentação que constitui a antena..
Quando uma corda suporta um peso homogêneo, mas, ao mesmo tempo, consideravelmente maior do que o peso da própria corda, o resultado será uma parábola.
Este princípio é fundamental para a construção de pontes suspensas, que normalmente são sustentadas por largas estruturas de cabos de aço..
O princípio da parábola em pontes suspensas tem sido utilizado em estruturas como a Golden Gate Bridge, localizada na cidade de São Francisco, nos Estados Unidos, ou a Grande Ponte do Estreito de Akashi, que fica no Japão e conecta o Ilha de Awaji com Honshū, a principal ilha daquele país.
A geometria analítica também teve usos muito específicos e decisivos no campo da astronomia. Nesse caso, o elemento da geometria analítica que ocupa o centro do palco é a elipse; A lei do movimento dos planetas de Johannes Kepler é um reflexo deste.
Kepler, um matemático e astrônomo alemão, determinou que a elipse era a curva que melhor se ajustava ao movimento de Marte; Ele já havia experimentado o modelo circular proposto por Copérnico, mas no meio de seus experimentos, deduziu que a elipse servia para desenhar uma órbita perfeitamente semelhante à do planeta que estava estudando..
Graças à elipse, Kepler pôde afirmar que os planetas se moviam em órbitas elípticas; esta consideração foi a afirmação da chamada segunda lei de Kepler.
A partir dessa descoberta, posteriormente enriquecida pelo físico e matemático inglês Isaac Newton, foi possível estudar os movimentos orbitacionais dos planetas, e aumentar o conhecimento que tínhamos sobre o universo do qual fazemos parte..
O telescópio Cassegrain recebeu o nome de seu inventor, o físico francês Laurent Cassegrain. Neste telescópio, os princípios da geometria analítica são usados porque ele é composto principalmente por dois espelhos: o primeiro é côncavo e parabólico, e o segundo é caracterizado por ser convexo e hiperbólico..
A localização e a natureza desses espelhos permitem que o defeito conhecido como aberração esférica não ocorra; este defeito impede que os raios de luz sejam refletidos no foco de uma determinada lente.
O telescópio Cassegrain é muito útil para observação planetária, além de ser bastante versátil e fácil de usar..
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