O triângulos agudos são aqueles cujos três ângulos internos são ângulos agudos; ou seja, a medida de cada um desses ângulos é inferior a 90 ° graus. Por não ter nenhum ângulo reto, temos que o teorema de Pitágoras não vale para esta figura geométrica.
Portanto, se quisermos ter algum tipo de informação sobre algum de seus lados ou ângulos, é necessário fazer uso de outros teoremas que nos permitam ter acesso a esses dados. Os que podemos usar são o teorema do seno e o teorema do cosseno.
Índice do artigo
Dentre as características que esta figura geométrica possui, podemos destacar aquelas que se dão pelo simples fato de ser um triângulo. Entre estes temos:
- Um triângulo é um polígono que tem três lados e três ângulos.
- A soma de seus três ângulos internos é igual a 180 °.
- A soma de dois de seus lados é sempre maior que o terceiro.
Como exemplo, vejamos o seguinte triângulo ABC. De uma forma geral, identificamos seus lados com uma letra minúscula e seus ângulos com uma letra maiúscula, de forma que um lado e seu ângulo oposto tenham a mesma letra.
Pelas características já fornecidas, sabemos que:
A + B + C = 180 °
a + b> c, a + c> be b + c> a
A principal característica que distingue este tipo de triângulo dos demais é que, como já mencionamos, seus ângulos internos são agudos; ou seja, a medida de cada um de seus ângulos é menor que 90 °.
Os triângulos agudos, junto com os triângulos obtusos (aqueles em que um de seus ângulos tem medida maior que 90 °), fazem parte do conjunto dos triângulos oblíquos. Este conjunto é composto de triângulos que não são ângulos retos.
Como os triângulos oblíquos fazem parte, temos que ser capazes de resolver problemas envolvendo triângulos agudos, devemos fazer uso do teorema do seno e do teorema do cosseno.
O teorema do seno nos diz que a razão de um lado para o seno de seu ângulo oposto é igual a duas vezes o raio do círculo formado pelos três vértices do referido triângulo. Quer dizer:
2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)
Por outro lado, o teorema do cosseno nos dá essas três igualdades para qualquer triângulo ABC:
paradois= bdois + cdois -2bc * cos (A)
bdois= adois + cdois -2ac * cos (B)
cdois= adois + bdois -2ab * cos (C)
Esses teoremas também são conhecidos como lei do seno e lei do cosseno, respectivamente..
Outra característica que podemos dar dos triângulos agudos é que dois deles são iguais se atendem a qualquer um dos seguintes critérios:
- Se eles tiverem todos os três lados iguais.
- Se eles têm um lado e dois ângulos iguais entre si.
- Se eles têm dois lados iguais e um ângulo.
Podemos classificar triângulos agudos com base em seus lados. Podem ser:
São os triângulos agudos que têm todos os seus lados iguais e, portanto, todos os seus ângulos internos têm o mesmo valor, que é A = B = C = 60 ° graus.
Como exemplo, vamos pegar o seguinte triângulo, cujos lados a, b e c têm um valor de 4.
Esses triângulos, além de possuírem ângulos internos agudos, têm a característica de possuir dois de seus lados iguais e o terceiro, que geralmente é tomado como base, diferente..
Um exemplo desse tipo de triângulo pode ser aquele cuja base é 3 e seus outros dois lados têm o valor 5. Com essas medidas, ele teria os ângulos opostos aos lados iguais com o valor de 72,55 ° e o ângulo oposto de a base seria 34,9 °.
Esses são os triângulos que têm lados diferentes dois a dois. Portanto, todos os seus ângulos, além de serem menores que 90 °, são diferentes de dois a dois.
O triângulo DEF (cujas medidas são d = 4, e = 5 ef = 6 e seus ângulos são D = 41,41 °, E = 55,79 ° e F = 82,8 °) é um bom exemplo de um escaleno de triângulo agudo.
Como dissemos antes, para resolver problemas envolvendo triângulos agudos é necessário usar os teoremas do seno e cosseno..
Dado um triângulo ABC com ângulos A = 30 °, B = 70 ° e lado a = 5cm, queremos saber o valor do ângulo C e dos lados be c.
A primeira coisa que fazemos é usar o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 °, para obter o valor do ângulo C.
180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C
Limpamos C e ficamos com:
C = 180 ° - 100 ° = 80 °
Como já conhecemos os três ângulos e um lado, podemos usar o teorema do seno para determinar o valor dos lados restantes. Pelo teorema, temos:
a / sin (A) = b / sin (B) e a / sin (A) = c / (sin (C)
Isolamos b da equação e ficamos com:
b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4
Agora só precisamos calcular o valor de c. Procedemos da mesma forma que no caso anterior:
c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84
Assim, obtemos todos os dados do triângulo. Como podemos ver, este triângulo se enquadra na categoria de triângulo agudo escaleno.
Dado um triângulo DEF com lados d = 4cm, e = 5cm ef = 6cm, queremos saber o valor dos ângulos do referido triângulo.
Para este caso, usaremos a lei do cosseno, que nos diz que:
ddois= edois + Fdois - 2efcos (D)
A partir desta equação, podemos resolver para cos (D), o que nos dá como resultado:
Cos (D) = ((4)dois - (5)dois -(6)dois) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75
Portanto, temos D≈ 41,41 °
Agora, usando o teorema do senom, temos a seguinte equação:
d / (sin (D) = e / (sin (E)
Resolvendo para o pecado (E), temos:
sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827
Portanto, temos E≈55,79 °
Finalmente, usando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 °, temos que F≈82,8 °.
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