As permutações circulares são diferentes tipos de agrupamentos de todos os elementos de um conjunto, quando estes devem ser dispostos em círculos. Neste tipo de permutação, a ordem é importante e os elementos não se repetem.
Por exemplo, suponha que você queira saber o número de matrizes distintas de dígitos de um a quatro, colocando cada número em um dos vértices de um losango. Seriam 6 arranjos no total:
Não se deve confundir que o número um está na posição superior do losango em todos os casos como uma posição fixa. As permutações circulares não são alteradas pela rotação da matriz. Os itens a seguir são uma única ou a mesma permutação:
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No exemplo das diferentes matrizes circulares de 4 dígitos localizadas nos vértices de um losango, o número de matrizes (6) pode ser encontrado assim:
1- Qualquer um dos quatro dígitos é tomado como ponto de partida em qualquer um dos vértices e avança para o próximo vértice. (não importa se for girado no sentido horário ou anti-horário)
2- Existem 3 opções restantes para selecionar o segundo vértice, então existem 2 opções para selecionar o terceiro vértice e, claro, há apenas uma opção de seleção para o quarto vértice.
3- Assim, o número de permutações circulares, denotado por (4 - 1) P (4 - 1), é obtido pelo produto das opções de seleção em cada posição:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 matrizes circulares de 4 dígitos diferentes.
Em geral, o número de permutações circulares que podem ser alcançadas com todos os n elementos de um conjunto é:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2) ... (2) (1)
Observe que (n - 1)! é conhecido como fatorial n e abrevia o produto de todos os números do número (n - 1) para o número um, ambos incluídos.
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas têm de se sentar em uma mesa circular??
Você quer encontrar o número de maneiras diferentes em que 6 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa redonda.
Nº de maneiras de sentar = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Número de maneiras de sentar = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 maneiras diferentes
De quantas maneiras diferentes 5 pessoas têm para se localizar nos vértices de um pentágono??
O número de maneiras pelas quais 5 pessoas podem ser localizadas em cada um dos vértices de um pentágono é pesquisado.
N ° de maneiras de se localizar = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
N ° de maneiras de ser localizado = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras diferentes
Um joalheiro adquire 12 diferentes pedras preciosas para colocá-las nos pontos das horas de um relógio que está preparando em nome da casa real de um país europeu.
a) De quantas maneiras diferentes ela tem para organizar as pedras no relógio?
b) Quantas formas diferentes ela tem se a pedra que vai até as 12 horas for única?
c) Quantas formas diferentes se a pedra das 12 horas for única e as pedras dos outros três pontos cardeais, 3, 6 e 9 horas; existem três pedras particulares, que podem ser trocadas, e o resto das horas são atribuídos a partir do resto das pedras?
a) É solicitado o número de maneiras de ordenar todas as pedras na circunferência do relógio; ou seja, o número de arranjos circulares envolvendo todas as pedras disponíveis.
Número de arranjos no relógio = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Número de correções no relógio = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Número de arranjos no relógio = 39976800 formas diferentes
b) Ele se pergunta quantas maneiras diferentes de ordenar existem, sabendo que a pedra do cabo das 12 horas é única e fixa; ou seja, o número de arranjos circulares envolvendo as 11 pedras restantes.
Número de arranjos no relógio = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Número de correções no relógio = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Número de arranjos no relógio = 3.628.800 formas diferentes
c) Finalmente, procura-se o número de maneiras de ordenar todas as pedras, exceto para a pedra das 12 horas que é fixada, as pedras 3, 6 e 9 que têm 3 pedras a serem atribuídas entre elas; ou seja, 3! possibilidades de arranjo, e o número de arranjos circulares envolvendo as 8 pedras restantes.
Número de arranjos no relógio = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!
Número de arranjos no relógio = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Número de arranjos no relógio = 241920 formas diferentes
O comitê de direção de uma empresa é composto por 8 membros e eles se reúnem em uma mesa oval.
a) Quantas formas diferentes de arranjo ao redor da mesa o comitê tem??
b) Suponha que o presidente se sente à cabeceira da mesa em qualquer arranjo de comissão, quantas formas diferentes de arranjo o resto da comissão tem??
c) Suponha que o vice-presidente e o secretário se sentam ao lado do presidente em qualquer arranjo do comitê.?
a) Queremos encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar os 12 membros do comitê ao redor da mesa oval.
N ° de arranjos de comitê = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
N ° de arranjos de comitê = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos de comitê = 39976800 formulários diferentes
b) Uma vez que o presidente da comissão está localizado em uma posição fixa, o número de maneiras de ordenar os 11 membros restantes da comissão ao redor da mesa oval é buscado.
N ° de arranjos de comitê = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
N ° de arranjos de comitê = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Nº de arranjos de comitê = 3.628.800 formulários diferentes
c) O presidente ocupa cargo fixo e ao lado estão o vice-presidente e o secretário com duas possibilidades de disposição: vice-presidente à direita e secretário à esquerda ou vice-presidente à esquerda e secretário à direita. Em seguida, você deseja encontrar o número de maneiras diferentes de ordenar os 9 membros restantes do comitê ao redor da mesa oval e multiplicar pelas 2 formas de arranjos que o vice-presidente e o secretário têm..
N ° de arranjos de comitê = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]
N ° de arranjos de comitê = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Nº de arranjos de comitês = 80640 formulários diferentes
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